Дискретные случайные величины. Формула математического ожидания

Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия .

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w) , находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей Р Х величины X :

где - множество всех возможных значений X .

Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение Р Х . Например , если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная борелевская функция Х , то:

Если F(x) - функция распределения X , то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):

при этом интегрируемость X в смысле (* ) соответствует конечности интеграла

В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями х k , k=1, 2 , . , и вероятностями , то

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х) , то

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

Свойства математического ожидания случайной величины.

• Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

C - постоянная;

• M=C.M[X]

• Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:

• Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:

M=M[X]+M[Y]

если X и Y независимы.

если сходится ряд:

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

1. По очереди перемножаем пары: x i на p i .

2. Складываем произведение каждой пары x i p i .

Напрмер , для n = 4 :

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле.

Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероят-ности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла

при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).

Пример 1 . Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона . По определению

или обозначим

,

Значит, параметр , определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.

Пример 2 . Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения , математическое ожидание равно

():

(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f (x) отлична от нуля только при положительных x).

Пример 3 . Случайнаявеличина, распределенная по закону распределения Коши , не имеет среднего значения. Действительно

Свойства математического ожидания .

Свойство 1 . Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.

Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С

Свойство 2 . Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что

Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями

По определению

где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. . Аналогично . Окончательно имеем

Свойство 3 . Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.

Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения

Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда

Следствие . Постоянныймножитель можно выносить за знак матема-тического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Пример . Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, ве-роятность появления события в каждом из которых равна Р. Чис-ло появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

Поэтому

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными .

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1 . Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины . Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end{array}$

Пример 2 . Пусть случайная величина $X$ - число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end{array}$

Замечание . Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum{p_i}=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3 . Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix_i}=1\cdot {{1}\over {6}}+2\cdot {{1}\over {6}}+3\cdot {{1}\over {6}}+4\cdot {{1}\over {6}}+5\cdot {{1}\over {6}}+6\cdot {{1}\over {6}}=3,5.$$

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5 . Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе - только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}.\ $$

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_ix^2_i}-{\left(M\left(X\right)\right)}^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

1. Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Пример 6 . Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2}={{1}\over {6}}\cdot {\left(1-3,5\right)}^2+{{1}\over {6}}\cdot {\left(2-3,5\right)}^2+\dots +{{1}\over {6}}\cdot {\left(6-3,5\right)}^2={{35}\over {12}}\approx 2,92.$$

Пример 7 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Пример 8 . Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Функция распределения дискретной случайной величины.

Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины - функция распределения.

Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X < x\right)$

Свойства функции распределения :

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения из интервала $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: $P\left(\alpha < X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - неубывающая.
4. ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } F\left(x\right)=0\ },\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } F\left(x\right)=1\ }$.

Пример 9 . Найдем функцию распределения $F\left(x\right)$ для закона распределения дискретной случайной величины $X$ из примера $2$.

$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end{array}$

Если $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (в том числе и при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X < 1\right)=0$).

Если $1 < x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Если $2 < x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Если $3 < x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Если $4 < x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Если $5 < x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Если $x > 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

Итак, $F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6,при\ 1 < x\le 2,\\
1/3,\ при\ 2 < x\le 3,\\
1/2,при\ 3 < x\le 4,\\
2/3,\ при\ 4 < x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4 < x\le 5,\\
1,\ при\ x > 6.
\end{matrix}\right.$

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Определение математического ожидания в общем случае

Определим математическое ожидание случайной величины, распределение которой не обязательно дискретно. Начнем со случая неотрицательных случайных величин. Идея будет заключаться в том, чтобы аппроксимировать такие случайные величины с помощью дискретных, для которых математическое ожидание уже определено, а математическое ожидание положить равным пределу математических ожиданий приближающих ее дискретных случайных величин. Кстати, это очень полезная общая идея, состоящая в том, что некоторая характеристика сначала определяется для простых объектов, а затем для более сложных объектов она определяется с помощью аппроксимации их более простыми.

Лемма 1. Пусть есть произвольная неотрицательная случайная величина. Тогда существует последовательность дискретных случайных величин, таких, что

Доказательство. Разобьем полуось на равные отрезки длины и определим

Тогда свойства 1 и 2 легко следуют из определения случайной величины, и

Лемма 2. Пусть -неотрицательная случайная величина и и две последовательности дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Тогда

Доказательство. Отметим, что для неотрицательных случайных величин мы допускаем

В силу свойства 3 легко видеть, что существует последовательность положительных чисел, такая что

Отсюда следует, что

Используя свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин, получаем

Переходя к пределу при получаем утверждение леммы 2.

Определение 1. Пусть - неотрицательная случайная величина, -последовательность дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Математическим ожиданием случайной величины называется число

Лемма 2 гарантирует, что не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

Пусть теперь - произвольная случайная величина. Определим

Из определения и легко следует, что

Определение 2. Математическим ожиданием произвольной случайной величины называется число

Если хотя бы одно из чисел в правой части этого равенства конечно.

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Будем рассматривать постоянную как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью следовательно,

Замечание 1. Определим произведение постоянной величины на дискретную случайную величину как дискретную случайную возможные значения которой равны произведениям постоянной на возможные значения; вероятности возможных значений равны вероятностям соответствующих возможных значений Например, если вероятность возможного значения равна то вероятность того, что величина примет значение также равна

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины

Замечание 2. Прежде, чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин и как случайную величину возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна, вероятность возможного значения равна то вероятность возможного значения равна

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение; в итоге получим и учитывая замечание 3, напишем закон распределения предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины и заданы следующими законами распределения:

Составим все возможные значения величины Для этого к каждому возможному значению прибавим каждое возможное значение; получим Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через и

Математическое ожидание величины равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

Докажем, что Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна), влечет за собой событие, которое состоит в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна), и обратно. Отсюда и следует, что Аналогично доказываются равенства

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим

или окончательно

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
   Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Пример №1 .

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3