Задачи: проверка законов сохранения импульса и энергии при абсолютно упругом и неупругом соударении шаров.

Оборудование: прибор для исследования столкновений шаров ФПМ-08.
Краткая теория:

Прямолинейное движение :

Векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения ) материальной точки.

Закон сохранения импульса : = const - импульс замкнутой системы не меняется с течением времени.

Закон сохранения энергии : в системе тел между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия с течением времени остается постоянной. Е = Т + Р = const ,

где Е - полная механическая энергия, Т - кинетическая энергия, Р - потенциальная энергия.

Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения системы. Кинетическая энергия для

поступательного движения:
, вращательного движения

где J - момент инерции, ω - циклическая частота).

Потенциальная энергия системы тел - это энергия взаимодействия между телами системы (она зависит от взаимного расположения тел и вида взаимодействия между телами) Потенциальная энергия упругодеформированного тела:
; при деформации кручения

где k – коэффициент жесткости (модуль кручения), х - деформация, α - угол кручения).

Абсолютно упругий удар - столкновение двух или нескольких тел, в результате которого во взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара вновь превращается в кинетическую энергию.

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух или нескольких тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое , часть кинетической энергии преобразуется во внутреннюю энергию.
Вывод рабочей формулы:

В данной установке два шара с массами m 1 и m 2 подвешены на тонких нитях одинаковой длины L . Шар с массой m 1 отклоняют на угол α 1 и отпускают. На установке угол α 1 задаете сами, отмеряя его по шкале и фиксируя шар электромагнитом, углы отклонения α 1 ’ и α 2 ’ шаров после столкновения также измеряют по шкале.

1 . Запишем законы сохранения импульса и энергии для абсолютно упругого соударения

до столкновения скорость первого шара V 1, скорость второго шара V 2 =0;

импульс первого шара p 1 = m 1 V 1 , импульс второго р 2 = 0 ,

после соударения -скорости первого и второго шаров V 1 ’ и V 2 ’

импульсы шаров p 1 ’ = m 1 V 1 ’ и p 2 = m 2 V 2 ’
m 1 V 1 = m 1 V 1 ’+ m 2 V 2 ’ закон сохранения импульса;

закон сохранения энергии системы до и после соударения шаров

h , он приобретает потенциальную энергию

Р = m 1 gh , - эта энергия переходит полностью в кинетическую энергию этого же шара
, отсюда скорость первого шара до соударения

Выразим h через длину нити L и угол удара α , из рис. 2 видно, что

h+ L cos α 1 = L

h = L(1-cos α 1 ) = 2 L sin 2 (α 1 /2),

тогда

Если углы α 1 ! и α 2 ! углы отклонения шаров после столкновения, то, рассуждая аналогично можно записать скорости после соударения для первого и второго шара:

Подставим три последние формулы в закон сохранения импульса

(рабочая формула 1)

В это уравнение входят величины, которые можно получить путем прямых измерений. Если при подстановке измеренных величин равенство выполняется, значит и выполняется закон сохранения импульса в рассматриваемой системе, а также закон сохранения энергии, т.к. эти законы были использованы при выводе формулы.

2 . Запишем законы сохранения импульса и энергии для абсолютно неупругого соударения

m 1 V 1 = (m 1 + m 2 ) V 2 закон сохранения импульса;где V 1 - скорость первого шара до столкновения; V 2 - общая скорость первого и второго шаров после столкновения.

закон сохранения энергии системы до и после соударения шаров, где W - часть энергии, которая переходит во внутреннюю энергию (тепло).

Закон сохранения энергии системы до момента удара, при поднятии первого шара на высоту h , соответствующую углу α 1. (см. рис.3)

- закон сохранения энергии системы после момента удара, соответствующая углу .

Выразим скорости V и V ’ из законов сохранения энергии:

,

,

Подставим эти формулы в закон сохранения импульса и получим:

рабочая формула 2
С помощью этой формулы можно проверить закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для абсолютно неупругого удара.
Средняя сила взаимодействия между двумя шарами в момент упругого удара можно определить по изменению импульса одного (первого) шара

Подставляя в эту формулу значения скоростей первого шара до и после удара

И
получим:

рабочая формула 3

где Δt = t - время соударения шаров , которое можно измерить при помощи микросекундомера.

Описание экспериментальной

установки:

Общий вид прибора для исследования столкновений шаров ФПМ-08 представлен на рис. 4.

На основании установки располагается электрический микросекундомер РМ-16, предназначенный для измерения коротких временных интервалов.

На передней панели микросекундомера имеется табло «время» (счет времени ведется в микросекундах), а также кнопки «СЕТЬ» «СБРОС», «ПУСК».

К основанию также крепится колонка со шкалой, на которой установлены верхний и нижний кронштейны. На верхнем кронштейне установлены два стержня и вороток, служащий для регулировки расстояния между шарами. Через подвесы проведены провода, по которым подводится напряжение к шарам от микросекундомера.

На нижнем кронштейне закреплены шкалы для отсчета углов которые имеют шары относительно вертикали, Эти шкалы можно передвигать вдоль кронштейна Также на кронштейне на специальной подставке находится электромагнит, который служит для фиксирования одного из шаров в определенном положении. Электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы, для чего необходимо отвинтить гайки, крепящие его на шкале. На торце корпуса электромагнита имеется винт для регулирования силы электромагнита.

Указания по выполнению работы

1 задание: проверка закона сохранения импульса и закона сохранения энергии для абсолютно упругого удара .

Для выполнения этого задания необходимо произвести измерения масс шаров и углов отклонения относительно вертикали.

2 задание: проверка закона сохранения импульса и закона сохранения энергии для абсолютно неупругого удара

m 1	m 2	№	α 1				До удара	После удара
		1
		2
		3
		4
		5
		Ср.

3 задание: изучить силу взаимодействия шаров при упругом соударении

Нужно построить график функции F ср = f (α 1 ). Для этого задания используется рабочая формула 3, Чтобы построить график функции F ср = f (α 1 ), необходимо произвести измерения - угла отброса первого шара после соударения и t - времени соударения при различных значениях α 1 .

1. 
   Нажмите на микросекундомере кнопку "СБРОС";
2. 
   Установите правый шар под углом α 1 = 14º, произведите соударения шаров, измерьте по угловой шкале и снимите показания микросекундомера. Вычислите F cp для каждого измерения по рабочей формуле 3;
3. 
   Результат измерения занесите в таблицу;
   

   m 1	L	№	α 1					Δ t	F cp
   		1	14º
   		2	14º
   		3	14º
   		4	10º
   		5	10º
   		6	10º
   		7	7º
   		8	7º

4. 
   Постройте график функции F ср = f (α 1 ),
5. 
   Сделайте выводы о полученной зависимости:

• 
  Как зависит сила F cp α 1) ?
• 
  Как зависит время Δ t соударения от начальной скорости (α 1) ?

Контрольные вопросы :

1. 
   Что называется столкновением?
2. 
   Абсолютно упругое и абсолютно неупругое столкновения.
3. 
   Какие силы возникают при контакте двух шаров.
4. 
   Что называется коэффициентом восстановления скорости и энергии. И как они изменяются в случае абсолютно упругого и абсолютно неупругого столкновений?
5. 
   Какие законы сохранения используются при выполнении этой работы? Сформулируйте их.
6. 
   Как зависит величина конечного импульса от соотношения масс сталкивающихся шаров?
7. 
   Как зависит величина кинетической энергии, передаваемой от первого шара ко второму от соотношения масс?
8. 
   Для чего определяется время удара?
9. 
   Что такое центр инерции (или центр масс)?

Литература:

1. 
   Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2000 г.
2. 
   Матвеев А.Н.: Механика и теория относительности. – М., Высшая школа, 1986 г., стр. 219-228.

4. Габышев H.H. Методическое пособие по механике - Якутск.,ЯГУ, 1989

доц.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1-5: СОУДАРЕНИЕ ШАРОВ.

Студент____________________________________________________________________ группа:_________________

Допуск__________________________________ Выполнение _______________________Защита _________________

Цель работы: Проверка закона сохранения импульса. Проверка закона сохранения механической энергии для упругих столкновений. Экспериментальное определение импульса шаров до и после столкновения, расчёт коэффициента восстановления кинетической энергии, определение средней силы соударения двух шаров, скорости шаров при соударении.

Приборы и принадлежности: прибор для исследования столкновения шаров FPM -08, весы, шары, изготовленные из разных материалов.

Описание экспериментальной установки. Механическая конструкция прибора

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15,16, а на специальных направляющих - электромагнит 17. После отвинчивания болтов 18,19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный первого шара. К основанию прибора прикреплён секундомер FRM -16 21,передающий через разъем 22 напряжение к шарам и электромагниту.

На лицевой панели секундомера FRM -16 находятся следующие манипуляционные элементы:

1. W 1 (Сеть)- выключатель сети. Нажатие этой клавиши вызывает включение питающего напряжения;

2. W 2 (Сброс) – сброс измерителя. Нажатие этой клавиши вызывает сбрасывание схем секундомера FRM -16.

3. W 3 (Пуск) –управление электромагнитом. Нажатие этой клавиши вызывает освобождение электромагнита и генерирование в схеме секундомера импульса как разрешение на измерения.

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Упражнение №1. Проверка закона сохранения импульса при неупругом центральном ударе. Определение коэффициента

Восстановления кинетической энергии.

Для изучения неупругого удара берутся два стальных шара, но на одном шаре в месте, где происходит удар, прикрепляется кусочек пластилина.

Таблица №1.

1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара font-size:10.0pt">2.

3. <ПУСК> и произведити отсчет угла отклонения второго шара . Опыт повторите пять раз. Полученные значения угла отклонения запишите в таблицу №1.

4. Массы шаров и написаны на установке.

5. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите в таблицу №1.

6. По формуле найдите пять значений импульса системы шаров после столкновения и запишите в таблицу №1.

7. По формуле

8. По формуле найдите дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения..gif" width="40" height="25"> занесите в таблицу №1.

9. По формуле font-size:10.0pt">10. По формуле font-size:10.0pt">11. font-size:10.0pt">12. Запишите интервал для импульса системы после столкновения в виде font-size:10.0pt">Найдите отношение проекции импульса системы после неупругого удара к начальному значению проекции импульса до удара font-size:10.0pt">Упражнение №2. Проверка закона сохранения импульса и механической энергии при упругом центральном ударе.

Определение силы взаимодействия шаров при столкновении.

Для изучения упругого удара берутся два стальных шара. Шар, который отклоняют к электромагниту, считается первым.

Таблица №2.

1. Получите у преподавателя начальное значение угла отклонения первого шара DIV_ADBLOCK3">

2. Установите электромагнит так, чтобы угол отклонения первого шара (меньшей массы) соответствовал заданному значению .

3. Отклоните первый шар на заданный угол, нажмите на клавишу <ПУСК> и произведити отсчет углов отклонения первого шара и второго шара и времени соударения шаров font-size:10.0pt">4. По формуле найдите импульс первого шара до столкновения и запишите в таблицу №2.

5. По формуле найдите пять значений импульса системы шаров после столкновения и запишите в таблицу №2.

6. По формуле найдите среднее значение импульса системы после столкновения.

7. По формуле найдите дисперсию среднего значения импульса системы шаров после столкновения..gif" width="40" height="25"> занесите в таблицу №2.

8. По формуле найдите начальное значение кинетической энергии первого шара до столкновения font-size:10.0pt">9. По формуле найдите пять значений кинетической энергии системы шаров после столкновения font-size:10.0pt">10. По формуле найдите среднее значение кинетической энергии системы после столкновения.

11. По формуле найдите дисперсию среднего значения кинетической энергии системы шаров после столкновения..gif" width="36" height="25 src="> занесите в таблицу №2.

12. По формуле найдите коэффициент восстановления кинетической энергии font-size:10.0pt">13. По формуле найдите среднее значение силы взаимодействия , и занесите в таблицу №2.

14. Запишите интервал для импульса системы после столкновения в виде .

15. Запишите интервал для кинетической энергии системы после столкновения в виде font-size: 10.0pt;font-weight:normal">Найдите отношение проекции импульса системы после упругого удара к начальному значению проекции импульса до удара font-size:10.0pt">Найдите отношение кинетической энергии системы после упругого удара к значению кинетической энергии системы до удара font-size:10.0pt">Сравните полученное значение величины силы взаимодействия с силой тяжести шара большей массы. Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Импульс и энергия, виды механической энергии.

2. Закон изменения импульса, закон сохранения импульса. Понятие о замкнутой механической системе.

3. Закон изменения полной механической энергии, закон сохранения полной механической энергии.

4. Консервативные и неконсервативные силы.

5. Удар, виды ударов. Запись законов сохранения для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

6. Взаимопревращение механической энергии при свободном падении тела и упругих колебаниях.

Работа, мощность, КПД. Виды энергии.

- Механическая работа постоянной по величине и направлению силы

A = FScosα ,

Где А – работа силы, Дж

F – сила,

S – перемещение, м

α - угол между векторами и

Виды механической энергии

Работа является мерой изменения энергии тела или системы тел.

В механике различают следующие виды энергии:

- Кинетическая энергия

font-size:10.0pt">font-size:10.0pt"> где Т – кинетическая энергия, Дж

M – масса точки, кг

ν – скорость точки, м/с

особенность:

Виды потенциальной энергии

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй материальной точки

особенность:

(см. рисунок)

- Потенциальная энергия поднятой над Землёй системы материальных точек или протяжённого тела

П=mghц. Т.

где П – потенциальная энергия, Дж

m – масса, кг

g – ускорение свободного падения, м/с2

h – высота точки над нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

hц. т . - высота центра масс системы материальных точек или протяжённого тела над

Нулевым уровнем отсчёта потенциальной энергии, м

особенность: может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от выбора начального уровня отсчёта потенциальной энергии

- Потенциальная энергия деформированной пружины

font-size:10.0pt">где к – коэффициент жёсткости пружины, Н/м

Δ х – величина деформации пружины, м

Особенность: всегда является величиной положительной.

- Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек

https://pandia.ru/text/79/299/images/image057_1.gif" width="47" height="41 src="> , где G – гравитационная постоянная,

M и m – массы точек, кг

r – расстояние между ними, м

особенность: всегда является величиной отрицательной (на бесконечности она принята равной нулю)

Полная механическая энергия

(это сумма кинетической и потенциальной энергии, Дж)

Е = Т + П

Механическая мощность силы N

(характеризует быстроту выполнения работы)

Где А – работа силы за время t

Ватт

различают: - полезную мощность font-size:10.0pt"> - затраченную (или полную мощность) font-size:10.0pt">где Аполезная и Азатр – это полезная и затраченная работа силы соответственно

Мощность постоянной силы можно выразить через скорость равномерно движущегося

под действием этой силы тела:

N = Fv. cosα , где α – угол между векторами силы и скорости

Если скорость тела меняется, то различают ещё мгновенную мощность:

N = Fv мгн. cosα , где v мгн – это мгновенная скорость тела

(т. е. скорость тела в данный момент времени), м/с

Коэффициент полезного действия (КПД)

(характеризует экономичность двигателя, механизма или процесса)

η = font-size:10.0pt">Связь A, N и η

ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

Импульсом материальной точки называется векторная величина равная произведению массы этой точки на её скорость:

,

Импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная:

Импульсом силы называется векторная величина, равная произведению силы на время её действия:

,

Закон изменения импульса:

Вектор изменения импульса механической системы тел равен произведению векторной суммы всех внешних сил, действующих на систему, на время действия этих сил.

font-size:10.0pt">Закон сохранения импульса:

Векторная сумма импульсов тел замкнутой механической системы остаётся постоянной как по величине, так и по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

font-size:10.0pt">Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы или результирующая всех внешних сил равна нулю.

Внешними называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.

Внутренними называются силы, действующие между телами самой системы.

Для незамкнутых механических систем закон сохранения импульса можно применить в следующих случаях:

1. Если проекции всех внешних сил, действующих на систему, на какое-либо направление в пространстве равны нулю, то на это направление выполняется закон сохранения проекции импульса,

(то есть, если font-size:10.0pt">2. Если внутренние силы по величине много больше внешних сил (например, разрыв

Снаряда), либо очень мал промежуток времени, в течение которого действуют

Внешние силы (например, удар), то закон сохранения импульса можно применить

В векторном виде,

(то есть font-size:10.0pt">Закон сохранения и превращения энергии:

Энергия ни откуда не возникает и ни куда не исчезает, а лишь переходит из одного вида энергии в другой, причём так, что суммарная энергия изолированной системы остаётся постоянной.

(например, механическая энергия при столкновении тел частично переходит в тепловую энергию , энергию звуковых волн, затрачивается на работу по деформации тел. Однако суммарная энергия до и после столкновения не изменяется)

Закон изменения полной механической энергии:

К неконсервативным - все остальные силы.

Особенность консервативных сил : работа консервативной силы, действующей на тело, не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а определяется лишь начальным и конечным положением тела.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная

,

Направление вектора М можно определить по правилу буравчика :

Если рукоятку буравчика вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение буравчика укажет направление вектора М. ,

Произведение векторной суммы моментов всех внешних сил относительно неподвижной точки О, действующих на механическую систему, на время действия этих сил равно изменению момента импульса этой системы относительно той же точки О.

закон сохранения момента импульса замкнутой системы

Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной точки О не изменяется ни по величине ни по направлению при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

Если в задаче требуется найти работу консервативной силы, то удобно применять теорему о потенциальной энергии:

Теорема о потенциальной энергии:

Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии тела или системы тел, взятому с противоположным знаком.

(то есть font-size:10.0pt">Теорема о кинетической энергии:

Изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех сил, действующих на это тело.

(то есть font-size:10.0pt">Закон движения центра масс механической системы:

Центр масс механической системы тел движется как материальная точка, к которой приложены все силы, действующие на эту систему.

(то есть font-size:10.0pt"> где m – масса всей системы, font-size:10.0pt">Закон движения центра масс замкнутой механической системы:

Центр масс замкнутой механической системы находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно при любых движениях и взаимодействиях тел системы.

(то есть, если font-size:10.0pt"> Следует помнить, что все законы сохранения и изменения необходимо записывать относительно одной и той же инерциальной системы отсчёта (обычно относительно земли).

Виды ударов

Ударом называется кратковременное взаимодействие двух или более тел.

Центральным (или прямым ) называется удар, при котором скорости тел до удара направлены вдоль прямой, проходящей через их центры масс. (в противном случае удар называется нецентральным или косым )

Упругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся раздельно друг от друга.

Неупругим называется удар, при котором тела после взаимодействия движутся как единое целое, то есть с одной и той же скоростью.

Предельными случаями ударов являются абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно упругий удар Абсолютно неупругий удар

1. выполняется закон сохранения 1. выполняется закон сохранения

Импульса: импульса:

2. закон сохранения полной 2. закон сохранения и превращения

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося относительно оси, движущейся поступательно

, font-size:10.0pt">Основное уравнение динамики вращательного движения механической системы:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно неподвижной точки О, равна скорости изменения момента импульса этой системы.

font-size:10.0pt">Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

Векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тело относительно неподвижной оси Z , равна произведению момента инерции этого тела относительно оси Z , на его угловое ускорение.

font-size:10.0pt">Теорема Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями

font-size:10.0pt">,

Момент инерции материальной точки https://pandia.ru/text/79/299/images/image108_0.gif" width="60" height="29 src=">

Элементарная работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси ,

Работа момента сил при вращении тела вокруг неподвижной оси ,

Цель работы: изучение законов сохранения импульса и энергии, определение времени соударения шаров и модуля Юнга.

Оборудование: лабораторная установка «удар шаров» (рис. 14), сменные шарики, весы. На двух парах металлических проводов установки подвешены два сменных латунных или стальных шара. Один из шаров может удерживаться в отклоненном состоянии электромагнитом ЭМ. Клавиша (3) «пуск» отключает питание электромагнита, отклоненный шар освобождается и ударяет по второму шару. Шары являются элементами электрической цепи, которая замыкается в момент удара. Время протекания тока по цепи измеряется таймером, установленным внутри электронного блока, а на табло фиксируется время соударения шаров. Чтобы включить электронный блок, необходимо нажать клавишу (1) «сеть». Клавиша (2) «сброс» обнуляет таймер. При этом включается электромагнит, удерживающий первый шар. Все шары, используемые в работе, имеют сквозное отверстие с резьбой и накручиваются на вертикальные стержни, закрепленные на проводах - подвесах. По нижней части стержня можно считывать угол отклонения шара.

Рис. 14. Установка «удар шаров»: электромагнит удерживает шар в отклоненном положении.

Теория эксперимента. Рассмотрим соударение двух одинаковых шаров.Отклоним один из шаров на угол α и рассмотрим соударение шаров в системе центра масс. Отклоненный шар обладает потенциальной энергией

где L – длина подвеса, m – массы шаров.

Когда шар приходит в движение, его потенциальная энергия переходит в кинетическую. Если v - скорость первого шара относительно второго, то в системе центра масс его скорость равна . В системе центра масс каждый шар обладает кинетической энергией:

Согласно теореме Кёнига, кинетическая энергия системы, состоящей из двух тел равна сумме кинетических энергий этих тел в системе центра масс и кинетической энергии всей массы системы, состоящей из массы тел системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс. Поскольку массы шаров равны, кинетическая энергия системы двух тел в момент их соударения равна:

Здесь v 0 – скорость первого шара относительно второго перед соударением, - скорости шаров в системе центра масс и скорость центра масс в лабораторной системе отсчета. Известно, что , поэтому формула (1) для потенциальной энергии примет вид:

где l – длина дуги, по которой отклонялся шар, l=αL. Перед столкновением кинетическая энергия системы шаров (3) будет равна потенциальной энергии отклоненного шара (4):

После начала движения скорость шаров в системе центра масс будет меняться от нуля до значения и будет функцией времени .

При столкновении шары сдавливаются и сближаются на некоторое расстояние h , скорость каждого шара в системе центра масс связана со сближением шаров выражением

Потенциальная энергия сжатия для двух шаров была впервые получена Г. Герцем. Она имеет вид:

где коэффициент пропорциональности k имеет вид:

здесь E - модуль Юнга, μ – коэффициент Пуассона, R – радиус шаров. Во время столкновения шары деформируются, но продолжают двигаться навстречу друг другу. При этом их кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная энергия растет. Кинетическая энергия каждого из сталкивающихся шаров, двигающихся навстречу друг другу со скоростями в системе центра масс будет равна:

Кинетическая энергия центра масс в лабораторной системе отсчета:

а их сумма с потенциальной энергией деформации равна кинетической энергии системы в лабораторной системе отсчета перед столкновением:

Скорость шаров обратится в ноль в точке максимального сближения (рис. 15), когда

Расстояние h 0 «взаимного проникновения» шаров найдем из условия равенства нулю скорости шаров, :

Сделаем грубую оценку времени столкновения шаров (считая, что каждый шар проходит расстояние , двигаясь со скоростью , тогда как на самом деле скорости шаров изменяются во времени):

В работе оценка этого времени выполнена более строго. Согласно время столкновения должно быть равно:

Подставим в эту формулу выражения для скорости и коэффициента упругости шара.

Зная время взаимодействия шаров, найдем значение модуля Юнга:

Ход работы. Все заключения теоретической части относятся к центральному удару. Поэтому, прежде всего, проверьте правильность подвеса шаров. Шары должны находиться на одинаковом уровне, точки подвеса нитей должны быть расположены друг напротив друга, длины нитей подвеса должны быть одинаковыми.

1. Измерьте с помощью штангенциркуля диаметры шаров и высоту подвеса шаров при помощи линейки.

2. Передвигая электромагнит на различные углы от 7 0 до 15 0 , и меняя угол на 1 0 , исследуйте зависимость времени соударения стальных шаров от угла α . Для каждого угла рассчитайте коэффициент линейной зависимости , где . Результаты занесите в таблицу:

3. Повторите измерения пункта 2 для латунных шаров.

Обработка результатов. Для двух типов шаров постройтена одном листе две зависимости и . Для стальных шаров, пользуясь табличными значениями коэффициента Пуассона μ и плотности ρ, рассчитайте модуль Юнга по формуле:

С учетом ошибок измерения R и L , вычислите ошибку в определении модуля Юнга. По тангенсу угла наклона прямой A 2 для латуни, а также по табличным значениям коэффициента Пуассона μ и плотности ρ, для стали и для латуни, рассчитайте модуль Юнга для второй пары шаров, пользуясь формулой:

Контрольные вопросы

1. Какой удар называется абсолютно упругим?

2. Какой удар называется абсолютно неупругим?

3. Получить формулы для скоростей тел после абсолютно упругого центрального удара в лабораторной системе отсчета.

4. Получить выражения для скоростей тел после абсолютно неупругого центрального удара в лабораторной системе отсчета.

5. Выполнить преобразования для нахождения скоростей тел после абсолютно упругого центрального удара в системе центра масс.

6. Найти скорость тел после абсолютно неупругого центрального удара в системе центра масс.

7. Ледокол, ударяясь о льдину массы M , отбрасывает ее, сообщив ей скорость v м/c. Давление ледокола на льдину нарастает равномерно во времени при сближении ледокола со льдиной и также равномерно убывает, когда они расходятся. Найти максимальную силу давления льдины на борт корабля, если удар продолжался τ с.

8. Движущийся шар налетает на неподвижный шар той же массы и отклоняется. Под каким углом разлетаются шары после удара? Удар абсолютно упругий.

9. Какие факторы не учитывались в задаче? Оцените их влияние.

Литература: - §34, 35, 81,87, 88

Список литературы

1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. I. Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2002.

3. Хайкин С.Э. Физические основы механики. 2-е изд. М.: Наука, 1971.

4. Стрелков С.П. Механика. 3-е изд. М.: Наука, 1975.

5. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1975.

6. Общий физический практикум. Механика /Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

7. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. Пер. с англ.- М.: Мир, 1985.

8. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретация эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1990.

9. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высшая школа, 1989.

10. Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971.

11. Китель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика: Учебное руководство: Пер. с англ. – М.: Наука, 1983.

Приложение. Таблица коэффициентов Стьюдента

Эмпирический – основанный на опыте.

Цель работы: ознакомиться с явлением удара на примере соударения шаров, рассчитать коэффициент восстановления энергии, проверить закон сохранения импульса.

Теоретические сведения

Отклоним шарик А с массой на угол

где и показания по шкале измерения. При этом шарик поднимется на высоту (см. рис.1). Как видно из рисунка высоту подъема можно выразить через длину подвеса и угол отклонения:

После освобождения шарика без начальной скорости он будет ускоряться и в нижней точке своей траектории приобретет горизонтальную скорость, которую можно найти из закона сохранения энергии:

В нижней точке своей траектории шарик А сталкивается с шариком В, и после очень короткого удара они разлетаются в противоположные стороны с горизонтальными скоростями и (см. рис.2). Так как во время удара силы натяжения нитей и силы тяжести, действующие на шарики, направлены по вертикали, то должен выполняться закон сохранения горизонтальной проекции импульса системы:

В большинстве случаев реальные удары тел не являются упругими из-за возникновения диссипативных сил внутри этих тел (внутреннее трение), поэтому кинетическая энергия системы в целом при ударе уменьшается. Коэффициентом восстановления кинетической энергии называется величина, равная:

Коэффициент восстановления скорости всегда меньше единицы:. Равенство единице означает полное сохранение энергии, что может быть только в идеальном случае отсутствия диссипативных сил в системе.

После столкновения (см. рис. 3) действие диссипативных сил внутреннего трения прекращается, и, если пренебречь потерей энергии во время движения из-за сопротивления воздуха, можно воспользоваться законом сохранения энергии для каждого шара в отдельности. Шар А отклонится на угол и поднимется на высоту, а шар В отклонится на угол и поднимется на высоту

Используя уравнения аналогичные уравнениям (1) и (2), выразим скорости шаров после удара:

Подставляя (2) и (5) в (4), получим выражение для расчета коэффициента восстановления энергии:

Подставляя (2) и (5) в (3), получим закон сохранения импульса в виде:

Оборудование: стойка с двумя грузами (шарами), повешенными на бифилярном подвесе.

Рабочее задание: определить коэффициент восстановления скорости тела при неупругом ударе шаров.

Порядок выполнения работы

Записать начальные положения 0 и 0, соответствующие точкам пересечения нитей бифилярных подвесов с линией деления шкалы, когда шары неподвижны. Здесь и в дальнейшем обозначение "" относится к шару А с меньшей массой m1, а "" - к шару В с меньшей массой m2.

Отклонить шар А на угол 1 от 10є до 15 и отпустить без начальной скорости. Произвести отсчет первого отброса обоих шаров 2 и 2 (так как сразу практически невозможно взять два отсчета, то поступают так: сначала берут отсчет для одного шара, затем производят повторный удар из того же положения шара А и берут отсчет для второго шара). Удар из данного положения производят не менее 10 раз, чтобы для каждого шара получить не менее пяти значений отбросов нитей после удара (2 и 2). Найти среднее <2> и <2>.

Опыт проделать для двух других значений 1. (от 20 до 25, от 30 до 35). Заполнить таблицу 1.

Проверить закон сохранения импульса (7). Для этого рассчитать скорости и по формулам (2) и (5), учитывая, что

и правую часть уравнения (7)

Результаты измерений и расчетов записать в табл. 1 и 2. Вычислить коэффициент восстановления энергии по формуле (6).

Таблица 1

Контрольные вопросы

Будет ли система шаров замкнутой?

Сформулировать закон сохранения импульса системы.

Сохраняется ли импульс системы шаров после удара? Почему?

Вид удара в данной работе. Проанализируйте полученный коэффициент восстановления энергии.

Когда полная механическая энергия системы сохраняется? Равны ли кинетические энергии системы шаров до и после удара?

Может ли в некоторой системе не сохраняться механическая энергия и оставаться постоянным момент импульса?

Получить расчетные формулы скоростей шаров после удара.

Список использованных источников

Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. - СПб.: Лань, 2007. - 432 с.- гл. II, §23, с.75-77, гл. III, §27-30, с.89-106